（本小題滿分15分）
已知函數(shù).
(Ⅰ) 若曲線在點處的切線與曲線有且只有一個公共點，求 的值；
(Ⅱ) 求證：函數(shù)存在單調遞減區(qū)間，并求出單調遞減區(qū)間的長度 的取值范圍.
（Ⅰ）.（Ⅱ）以函數(shù)的遞減區(qū)間長度的取值范圍是.
本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中 的運用。
（1）先求解函數(shù)的定義域為，函數(shù)導數(shù)
所以曲線在點處的切線方程為：
因為切線與曲線有唯一的公共點，
所以方程有且只有一個實數(shù)解，顯然是方程的一個解.
構造函數(shù)令，則
對參數(shù)m討論得到結論。
（2））因為.
因為且對稱軸為，
，
所以方程在內有兩個不同實根，
結合韋達定理得到結論。
解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，
所以曲線在點處的切線方程為：
因為切線與曲線有唯一的公共點，
所以方程有且只有一個實數(shù)解，顯然是方程的一個解.
令，則
①當時，，
所以在上單調遞增，即是方程唯一實數(shù)解.
②當時，由得，，
在區(qū)間上，；在區(qū)間上，；
所以函數(shù)在處有極大值，且；
而當，因此在內也有一個解.
即當時，不合題目的條件.
綜上討論得.……………………………………………………………………………8分
（Ⅱ）.
因為且對稱軸為，
，
所以方程在內有兩個不同實根，
即的解集為，
所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為.

由于，所以，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間長度的取值范圍是.……………………15分
練習冊系列答案
相關習題

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（本小題滿分14分）
已知函數(shù)，其中常數(shù)．
（Ⅰ）當時，求函數(shù)的極值點；
（Ⅱ）令，若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，求的取值范圍；
（Ⅲ）設定義在D上的函數(shù)在點處的切線方程為當時，若在D內恒成立，則稱P為函數(shù)的“特殊點”，請你探究當時，函數(shù)是否存在“特殊點”，若存在，請最少求出一個“特殊點”的橫坐標，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設函數(shù).
（1）若函數(shù)是定義域上的單調函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（2）求函數(shù)的極值點.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

(本題12分)已知函數(shù)在處取得極值.
(1) 求；
(2 )設函數(shù)，如果在開區(qū)間上存在極小值，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝x2(ax－3)，其中a為常數(shù).
(Ⅰ)若x＝1是函數(shù)f(x)的一個極值點，求a的值；
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間（－1，0）上是增數(shù)，求a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是
A．[－1，＋∞)　B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

函數(shù)在下列哪個區(qū)間內是增函數(shù)（   ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)
（Ⅰ）當a=﹣2時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若g(x)= +在1，+∞)上是單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)在處取得極值，
（1）求實數(shù)的值；
（2）若關于的方程在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.

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