(本題滿分15分)如圖,在四棱錐中,底面是矩形,平面,與平面所成角的正切值依次是,依次是的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.
(1)見解析;(2)直線與平面所成角的正弦值為
本試題主要是考查了面面垂直和線面角的求解的綜合運(yùn)用。
(1)第一問中要證明面面垂直關(guān)鍵是證明線面垂直,然后利用判定定理得到。
(2)第二問先根據(jù)線面角的定義,作出線面角,然后利用直角三角形的邊角的關(guān)系求解的得到。
解:(1)∵與平面所成角的正切值依次
,
平面,底面是矩形
平面  ∴
的中點(diǎn)   ∴
        …………………………7分
(2)解法一:∵平面,∴,又,
平面,取中點(diǎn),中點(diǎn),聯(lián)結(jié),
,是平行四邊形,
即為直線與平面所成的角. 在中,,
,
∴直線與平面所成角的正弦值為
解法二:分別以軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,依題意,,則各點(diǎn)坐標(biāo)分別是
,,
,∴,,
又∵平面
∴平面的法向量為,
設(shè)直線與平面所成的角為,則
,         
∴直線與平面所成角的正弦值為.   …………………………15分
解:(1)∵與平面所成角的正切值依次
,
平面,底面是矩形
平面  ∴
的中點(diǎn)   ∴
        …………………………7分
(2)解法一:∵平面,∴,又,
平面,取中點(diǎn),中點(diǎn),聯(lián)結(jié),
是平行四邊形,
即為直線與平面所成的角. 在中,,,
,
∴直線與平面所成角的正弦值為
解法二:分別以軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,依題意,,則各點(diǎn)坐標(biāo)分別是
,,
,∴,,,
又∵平面,
∴平面的法向量為,
設(shè)直線與平面所成的角為,則
,         
∴直線與平面所成角的正弦值為.   …………………………15分
練習(xí)冊(cè)系列答案
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在下列關(guān)于點(diǎn)P,直線與平面、的命題中,正確的是 (    )
A.若,,則
B.若,,且,則
C.若,,則
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A.平面內(nèi)的一條直線垂直與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,則
B.若直線與平面內(nèi)的一條直線平行,則
C.若平面,且,則過內(nèi)一點(diǎn)垂直的直線垂直于平面
D.若直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直,則不能說一定有.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

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;③;④
A.②④B.①②C.③④D.①③

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