Question

通過實(shí)驗(yàn)研究，專家們發(fā)現(xiàn)：初中學(xué)生聽課的注意力指標(biāo)數(shù)是隨著老師講課時(shí)間的變化而變化的，講課開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，中間有一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)的狀態(tài)，隨后開始分散．學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示（y越大表示學(xué)生注意力越集中）．當(dāng)0≤x≤10時(shí)，圖象是拋物線的一部分，當(dāng)10≤x≤20和20≤x≤40時(shí)，圖象是線段．
（1）當(dāng)0≤x≤10時(shí)，求注意力指標(biāo)數(shù)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）一道數(shù)學(xué)競賽題需要講解24分鐘．問老師能否經(jīng)過適當(dāng)安排，使學(xué)生在聽這道題時(shí)，注意力的指標(biāo)數(shù)都不低于36．

Answer 1

分析：（1）由已知我們易得函數(shù)的類型，故可以利用待定系數(shù)法解答本題，由函數(shù)的圖象設(shè)出函數(shù)的解析式，將圖象上的點(diǎn)代入后易構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程組，解方程組求出a，b，c的值，即可求出函數(shù)注意力指標(biāo)數(shù)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式，我們可以求出學(xué)生在聽這道題時(shí)，注意力的指標(biāo)數(shù)都不低于36的x的值，然后和24進(jìn)行比較，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)0≤x≤10時(shí)，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax²+bx+c，
由于它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，20），（5，39），（10，48），
所以

c=20 25a+5b+c=39 100a+10b+c=48.

解得，a=-

1

5

，b=

24

5

，c=20．
所以y=-

1

5

x2+

24

5

x+20，0≤x≤10．（6分）
（2）當(dāng)20≤x≤40時(shí)，y=-

7

5

x+76．
所以，當(dāng)0≤x≤10時(shí)，令y=36，
得36=-

1

5

x2+

24

5

x+20，
解得x=4，x=20（舍去）；
當(dāng)20≤x≤40時(shí)，令y=36，得36=-

7

5

x+76，
解得x=

200

7

=28

4

7

．（13分）
因?yàn)?span id="c2ccuwq" class="MathJye">28

4

7

-4=24

4

7

＞24，
所以，老師可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才�，在學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)不低于36時(shí)，講授完這道競賽題．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象與圖象的變化，其中根據(jù)已知中函數(shù)的圖象，結(jié)合待定系數(shù)法，求出滿足條件的函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．