Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處的切線斜率均為0．
（1）求a，b的值；
（2）過點(diǎn)A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處的切線斜率均為0，建立方程，即可求a，b的值；
（2）設(shè)切點(diǎn)，確定切線方程，代入點(diǎn)A（0，16），即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²-3x，
∴f′（x）=3ax²+2bx-3，
∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處的切線斜率均為0．
∴f′（1）=f′（-1）=0，
∴

3a+2b-3=0 3a-2b-3=0

，
∴a=1，b=0；
（2）函數(shù)f（x）=x³-3x，點(diǎn)A（0，16）不在曲線上，
∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3，
設(shè)切點(diǎn)為M（a，a³-3a），則f′（a）=3a²-3，
∴切線方程為y-（a³-3a）=（3a²-3）（x-a），
點(diǎn)A（0，16）代入可得16-（a³-3a）=（3a²-3）（-a），
∴a=-2，
∴切點(diǎn)為M（-2，-2），切線方程為9x-y+16=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．