Question

已知函數(shù)

（1）求的最小值；

（2）設(shè)，．

（ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，的圖象與的圖象有唯一的公共點(diǎn)；

（ⅱ）若當(dāng)時(shí)，的圖象恒在的圖象的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）0；（2）（ⅱ）

【解析】

試題分析：（1）先求的導(dǎo)數(shù)，利用求出的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出函數(shù)在何處取得最小值以及最小值是多少.（2）（ⅰ）當(dāng)時(shí)，的圖象與的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；可利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的單調(diào)性，作函數(shù)有一零的證據(jù)之一；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，的圖象恒在的圖象上方，等價(jià)于在上恒成立，利用的導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，注意參變量，對(duì)函數(shù)單調(diào)性及最值的影響，適時(shí)進(jìn)行分類討論.

試題解析：（1）求導(dǎo)數(shù)，得f ′(x)＝ex－1．

令f ′(x)＝0，解得x＝0．

當(dāng)x＜0時(shí)，f ′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)；

當(dāng)x＞0時(shí)，f ′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．

故f(x)在x＝0處取得最小值f(0)＝0． 4分

（2）設(shè)h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－x－ax2，則h′(x)＝ex－1－2ax．[

（ⅰ）當(dāng)a＝時(shí)，y＝ex－1－x的圖象與y＝ax2的圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于

h(x)＝ex－1－x－x2零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

∵h(0)＝1－1＝0，∴h(x)存在零點(diǎn)x＝0．

由（1），知ex≥1＋x，∴h′(x)＝ex－1－x≥0，

∴h(x)在R上是增函數(shù)，∴h(x)在R上有唯一的零點(diǎn)．

故當(dāng)a＝時(shí)，y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有唯一的公共點(diǎn)． 9分

（ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，y＝f(x)的圖象恒在y＝g(x)的圖象的上方

?當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞g(x)，即h(x)＝ex－1－x－ax2＞0恒成立．

由（1），知ex≥1＋x（當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立），

故當(dāng)x＞0時(shí)，ex＞1＋x．

h′(x)＝ex－1－2ax＞1＋x－1－2ax＝(1－2a)x，

從而當(dāng)1－2a≥0，即a≤時(shí)，h′(x)≥0（x＞0），

∴h(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又h(0)＝0，

于是當(dāng)x＞0時(shí)，h(x)＞0．

由ex＞1＋x（x≠0），可得e－x＞1－x（x≠0），

從而當(dāng)a＞時(shí)，h′(x)＝ex－1－2ax＜ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)，

故當(dāng)x∈(0，ln2a)時(shí)，h′(x)＜0，

此時(shí)h(x)在(0，ln2a)上是減函數(shù)，又h(0)＝0，

于是當(dāng)x∈(0，ln2a)時(shí)，h(x)＜0．

綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，]． 14分

考點(diǎn)：1導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；2、分類討論與等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.