Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差是2，前n項和S_n=pn²+2n，n∈N^*．
（Ⅰ）求p的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）在等比數(shù)列{b_n}中，b₂=a₂-2，b₃=a₃+2，數(shù)列{b_n}前n項和是T_n，求證：數(shù)列{T_n+

1

2

}是等比數(shù)列．

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）依題意，由d=a₂-a₁=S₂-2S₁=4p+4-2（p+2）=2p=2，可求得p=1，繼而可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用等比數(shù)列的概念可求得公比q=

b3

b2

=3，繼而可得數(shù)列{b_n}的通項公式，前n項和是T_n，利用等比數(shù)列的定義，可證得

Tn+1+ 1 2

Tn+ 1 2

=

1 2 •3n+1

1 2 •3n

=3，從而證得結(jié)論成立．

解答： （Ⅰ）解：∵等差數(shù)列{a_n}的公差d=2，前n項和S_n=pn²+2n，n∈N^*，
∴d=a₂-a₁=S₂-2S₁=4p+4-2（p+2）=2p=2，
∴p=1，a₁=1+2=3，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（Ⅱ）證明：∵在等比數(shù)列{b_n}中，b₂=a₂-2=3，b₃=a₃+2=9，
∴公比q=

b3

b2

=3，b₁=

b2

q

=1，
∴b_n=b₁•q^n-1=3^n-1，
∴數(shù)列{b_n}前n項和是T_n，=b₁+b₂+…+b_n=1+3+3²+…+3^n-1=

1-3n

1-3

=

1

2

（3ⁿ-1），
∴T_n+

1

2

=

1

2

•3ⁿ，
∵

Tn+1+ 1 2

Tn+ 1 2

=

1 2 •3n+1

1 2 •3n

=3，
∴數(shù)列{T_n+

1

2

}是以3為公比的等比數(shù)列．

點評：本題考查等比關(guān)系的確定與等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等比數(shù)列的求和公式，考查運算與推理、證明的能力，屬于中檔題．