如圖,四面體的三條棱兩兩垂直,,,為四面體外一點(diǎn).給出下列命題.
①不存在點(diǎn),使四面體有三個(gè)面是直角三角形
②不存在點(diǎn),使四面體是正三棱錐
③存在點(diǎn),使垂直并且相等
④存在無數(shù)個(gè)點(diǎn),使點(diǎn)在四面體的外接球面上
其中真命題的序號(hào)是
A.①②
B.②③
C.③
D.③④
D

分析:對(duì)于①可構(gòu)造四棱錐CABD與四面體OABC一樣進(jìn)行判定;對(duì)于②,使AB=AD=BD,此時(shí)存在點(diǎn)D,使四面體ABCD是正三棱錐;對(duì)于③取CD=AB,AD=BD,此時(shí)CD垂直面ABD,即存在點(diǎn)D,使CD與AB垂直并且相等,對(duì)于④先找到四面體OABC的內(nèi)接球的球心P,使半徑為r,只需PD=r,可判定④的真假.
解:∵四面體OABC的三條棱OA,OB,OC兩兩垂直,OA=OB=2,OC=3,
∴AC=BC=,AB=2
當(dāng)四棱錐CABD與四面體OABC一樣時(shí),即取CD=3,AD=BD=2
此時(shí)點(diǎn)D,使四面體ABCD有三個(gè)面是直角三角形,故①不正確
使AB=AD=BD,此時(shí)存在點(diǎn)D,使四面體ABCD是正三棱錐,故②不正確;
取CD=AB,AD=BD,此時(shí)CD垂直面ABD,即存在點(diǎn)D,使CD與AB垂直并且相等,故③正確;
先找到四面體OABC的內(nèi)接球的球心P,使半徑為r,只需PD=r即可
∴存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)D,使點(diǎn)O在四面體ABCD的外接球面上,故④正確
故選D
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