Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+a．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集為{x|-2≤x≤3}，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若存在實(shí)數(shù)n使f（n）≤m-f（-n）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）不等式f（x）≤6，即

6-a≥0 a-6≤2x-a≤a-6

，求得a-3≤x≤3．再根據(jù)不等式的解集為{x|-2≤x≤3}，可得a-3=-2，從而求得實(shí)數(shù)a的值．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，f（n）=|2n-1|+1，即f（n）+f（-n）≤m，即|2n-1|+|2n+1|+2≤m．求得|2n-1|+|2n+1|的最小值為2，可得m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=|2x-a|+a，故不等式f（x）≤6，即

6-a≥0 a-6≤2x-a≤a-6

，求得 a-3≤x≤3．
再根據(jù)不等式的解集為{x|-2≤x≤3}，可得a-3=-2，∴實(shí)數(shù)a=1．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，f（x）=|2x-1|+1，∴f（n）=|2n-1|+1，存在實(shí)數(shù)n使f（n）≤m-f（-n）成立，
即f（n）+f（-n）≤m，即|2n-1|+|2n+1|+2≤m．
由于|2n-1|+|2n+1|≥|（2n-1）-（2n+1）|=2，∴|2n-1|+|2n+1|的最小值為2，∴m≥4，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[4，+∞）．）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分式不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．