Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足x²+（y-1）²=4，若不等式x+y+m≥0恒成立，則m范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：直線與圓

分析：由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑，依題意得，只要圓上的點(diǎn)都在直線之上，臨界情況就是直線和圓下部分相切，即圓心（0，1）到直線的距離是2，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到關(guān)于m的方程，求出方程的解，根據(jù)圖象判斷符合題意的m的值即可得到使不等式恒成立時(shí)m的取值范圍．

解答： 解：由圓的方程x²+（y-1）²=2得，圓心（0，1），半徑r=2，
令圓x²+（y-1）²=2與直線x+y+m=0相切，
則圓心到直線的距離d=r，即

|1+m|

2

≤2，化簡(jiǎn)得-2

2

≤1+m≤2

2

，
結(jié)合圖象可知，-2

2

-1≤m≤2

2

-1，
圓上的任一點(diǎn)都能使不等式x+y+m≥0恒成立．
故答案為：[2

2

-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，學(xué)生掌握不等式恒成立時(shí)所滿足的條件及直線與圓相切時(shí)所滿足的條件，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)取值，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題，是一道綜合題．