Question

（本小題滿分13分）對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列，記，即為中的最大值，則稱是的“控制數(shù)列”，各項(xiàng)中不同數(shù)值的個(gè)數(shù)稱為的“控制階數(shù)”．

（Ⅰ）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列為，寫出所有的；

（Ⅱ）若，，其中，是的控制數(shù)列，試用表示

的值；

（Ⅲ）在的所有全排列中，將每種排列視為一個(gè)數(shù)列，對(duì)于其中控制階數(shù)為2的所有數(shù)列，求它們的首項(xiàng)之和．

 

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ）；（Ⅲ）154．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列為1，3，3，5，可得；（Ⅱ）確定當(dāng)時(shí)，總有時(shí)，總有．分類比較和的大小，即可得出結(jié)論．（Ⅲ）分別求出為1、2、3、4的數(shù)列的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論．

試題解析：（Ⅰ）; ; ．3分

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020306162157308574/SYS201502030617400447130308_DA/SYS201502030617400447130308_DA.013.png">，

所以．

所以當(dāng)時(shí)，總有．

又，．

所以．

故時(shí)，總有．

從而只需比較和的大�。�

（1）當(dāng)，即，即時(shí)，

是遞增數(shù)列，此時(shí)對(duì)一切均成立．

所以．

（2）當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)，

，，．

所以

．

綜上，原式 9分

（Ⅲ）．

首項(xiàng)為1的數(shù)列有個(gè)；

首項(xiàng)為2的數(shù)列有個(gè)；

首項(xiàng)為3的數(shù)列有個(gè)；

首項(xiàng)為4的數(shù)列有個(gè)；

所以，控制階數(shù)為2的所有數(shù)列首項(xiàng)之和． 13分．

考點(diǎn)：1．新定義；2．等差數(shù)列與等比數(shù)列．