Question

已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；
（3）設(shè)第（2）問(wèn)中的與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿足,求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）（3）

試題分析：（1）雙曲線的離心率為，所以橢圓的離心率為。根據(jù)題意原點(diǎn)到直線的距離為，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034922276549.png" style="vertical-align:middle;" />可解得。（2）由題意知即點(diǎn)到直線，和到點(diǎn)的距離相等，根據(jù)橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)以直線為準(zhǔn)線的拋物線。（3）由的方程為知設(shè)，根據(jù)得出的關(guān)系，用兩點(diǎn)間距離求，再用配方法求最值。
試題解析：解（1）易知：雙曲線的離心率為，，
即 ，                             1分
又由題意知：，                          2分
橢圓的方程為.                                   3分
（2） 
動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離等于它到定點(diǎn)的距離       5分
動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)的拋物線，              6分
點(diǎn)的軌跡的方程為.                                7分
（3）由（2）知：,設(shè)，
則，                      8分

，                  9分
由，左式可化簡(jiǎn)為：，               10分
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，                       11分
又，
當(dāng)，即時(shí)，，                  13分
故的取值范圍是.                                14分