Question

已知．
（1）若a=-8，判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）若f（x）在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁≠x₂），求證：．

Answer 1

（1）解：當(dāng)a=-8時(shí)，f（x）=2lnx-，x＞0，
則=≥0，
∴f（x）在定義域上單調(diào)遞增．
（2）證明：∵
=，
∵f（x）在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁≠x₂），
∴f′（x）=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根x₁，x₂，
則，
而f（x₁）+f（x₂）=2lnx₁++2lnx₂+
=
=2ln（x₁x₂）+a•=a，
∵，
∴等價(jià)于=，
也就是要證明：對(duì)任意x＞0，有l(wèi)nx≤x-1，
令g（x）=lnx-x+1，（x＞0），
由于g（1）=0，并且，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，則g（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，則g（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
∴g（x）在（0，+∞）上有最大值g（1）=0，即g（x）≤0，
故．
分析：（1）當(dāng)a=-8時(shí)，=≥0，由此得到f（x）在定義域上單調(diào)遞增．
（2）=，由f（x）在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁≠x₂），知f′（x）=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根x₁，x₂，由此推導(dǎo)出等價(jià)于=，由此能夠證明．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的求法，考查不等式恒成立的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用．