Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C.

(1)求過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍；

(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）[－1，＋∞)；（2）(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞).

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出其取值范圍，從而可求出曲線C上任意一點(diǎn)處的切線的斜率的取值范圍；（2）根據(jù)（1）可知k與﹣的取值范圍，從而可求出k的取值范圍，然后解不等式可求出曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍.

解析：

(1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3，則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，

即過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞)．

(2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知，

解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，

得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)