已知各項為正數(shù)的數(shù)列中,,對任意的,成等比數(shù)列,公比為;成等差數(shù)列,公差為,且
(1)求的值;
(2)設,證明:數(shù)列為等差數(shù)列;
(3)求數(shù)列的前項和
(1)2;(2);(3)時,時,.

試題分析:(1)求數(shù)列的,相對較容易,由題意可得成等比數(shù)列,而,可求得;(2)要證明是等差數(shù)列,實質上就是求,求出的遞推關系,從而推導出的遞推關系,由題意,,而,這樣就有,于是關于的遞推關系就有了:,把它變形或用代入就可得到結論;(3)由(2)我們求出了,下面為了求,我們要把數(shù)列從前到后建立一個關系,分析已知,發(fā)現(xiàn),這樣就由而求出,于是,,得到數(shù)列的通項公式后,其前項和也就可求得了.
試題解析:(1)由題意得
,.       2分
,∴.                4分
(2)∵成公比為的等比數(shù)列,
成公比為的等比數(shù)列
,
又∵成等差數(shù)列,
.
,       6分
,
,,即.
∴數(shù)列數(shù)列為公差等差數(shù)列,   10分
(3)由(1)數(shù)列的前幾項為,
由(2),.
,,

.      16分
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