Question

已知向量

a

=（2sinx，cosx），

b

=（

3

cosx，2cosx），定義函數(shù)f（x）=

a

•

b

-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及對稱中心；
（2）當(dāng)x∈[-

7π

12

，

5π

12

]時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積化簡函數(shù)的表達(dá)式，通過二倍角兩角和的正弦函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，求函數(shù)f（x）的最小正周期及對稱中心；
（2）當(dāng)x∈[-

7π

12

，

5π

12

]時，求出-π≤2x+

π

6

≤π，推出-

π

3

≤x≤

π

6

函數(shù)單調(diào)遞增，然后求得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

•

b

-1=2

3

sinxcosx+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）．
∴函數(shù)的周期T=

2π

|ω|

=π．令2x+

π

6

=kπ得x=-

π

12

+

kπ

2

  （k∈Z）．
所以函數(shù)的對稱中心為（-

π

12

+

kπ

2

，0） （k∈Z）．
（2）當(dāng)x∈[-

7π

12

，

5π

12

]時-π≤2x+

π

6

≤π，
∴當(dāng)-

π

2

≤2x+

π

6

≤

π

2

即-

π

3

≤x≤

π

6

時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[-

π

3

，

π

6

]．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)的化簡以及對稱性的應(yīng)用，兩角和公式的化簡求值．函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力．