Question

如圖所示，某市政府決定在以政府大樓O為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內(nèi)建造一個(gè)圖書館．為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環(huán)境協(xié)調(diào)，設(shè)計(jì)要求該圖書館底面矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都要在邊界上，圖書館的正面要朝市政府大樓．設(shè)扇形的半徑OM=R，∠MOP=45°，當(dāng)點(diǎn)B位于何處時(shí)，圖書館的占地面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析：設(shè)OB與OM之間的夾角為θ，利用S=AB•BC，求出面積，利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)，即可求得結(jié)論．

解答：解：設(shè)OB與OM之間的夾角為θ，由題意可知，點(diǎn)M為PQ弧的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥AD．
設(shè)OM于BC的交點(diǎn)為F，則BC=2Rsinθ，OF=Rcosθ．…..（4分）
∴AB=OF-

1

2

AD=Rcosθ-Rsinθ    …..（6分）
所以S=AB•BC=2Rsinθ（Rcosθ-Rsinθ ）=R²（2sinθcosθ-2sin²θ）=

2

R²sin（2θ+

π

4

）-R²，θ∈(0，

π

4

)，
∵θ∈(0，

π

4

)，∴2θ+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)                            …..（11分）
所以當(dāng)2θ+

π

4

=

π

2

，即θ=

π

8

 時(shí)，S有最大值．
即Smax=(

2

-1)R2．…..（14分）
答：當(dāng)∠BOP=

3π

8

時(shí)，圖書館的占地面積最大，最大值為(

2

-1)R2．…..（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查三角函數(shù)的化簡，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．