已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0
(1)求證:對(duì)m∈R,直線l與C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)設(shè)l與C交于A、B兩點(diǎn),若|AB|=
17
,求l的方程;
(3)若l與圓C交于A、B兩點(diǎn)且以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),求直線l的方程.
分析:由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑r,
(1)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出(1,1)到圓心的距離d,判斷得到d小于半徑r,得到(1,1)在圓內(nèi),而直線l恒過(1,1),故對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m,直線l與C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d,由弦長(zhǎng)|AB|的一半,d,及圓的半徑列出關(guān)于m的方程,求出方程的解得到m的值,進(jìn)而確定出直線l的方程;
(3)由l與圓C交于A、B兩點(diǎn)且以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角,可得直線OA與直線OB垂直,即兩直線斜率的乘積為-1,設(shè)出A和B的坐標(biāo),將直線l與圓的方程聯(lián)立,消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程,利用韋達(dá)定理表示出x1x2,同理消去x得到關(guān)于y的一元二次方程,利用韋達(dá)定理表示出y1y2,由斜率乘積為-1,得到的x1x2+y1y2=0,將表示出的x1x2和y1y2代入,得到關(guān)于m的方程,由根的判別式得到方程無解,即不存在m使l與圓C交于A、B兩點(diǎn)且以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),即直線l的方程無解.
解答:解:由圓的方程,得到圓心C坐標(biāo)為(0,1),半徑r=
5
,
(1)∵直線l:mx-y+1-m=0變形得:m(x-1)=y-1,
∴直線l恒過(1,1),
∵(1,1)到圓心的距離d=
(1-0)2+(1-1)2
=1<
5
,
∴此點(diǎn)在圓內(nèi),
∴對(duì)m∈R,直線l與C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)∵圓心到直線l的距離d=
|m|
1+m2
,弦長(zhǎng)|AB|=
17
,且r=
5
,
∴|AB|=2
r2-d2
,即17=4(5-
m2
1+m2
),
整理得:3(1+m2)=4m2,即m2=3,
解得:m=
3
,或m=-
3
,
則直線l的方程為
3
x-y+1-
3
=0或
3
x+y-1+
3
=0;
(3)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
將直線l與圓的方程聯(lián)立得:
x2+(y-1)2=5①
mx-y+1-m=0②
,
由②得:y=mx+1-m,
代入①消去y得:x2+(mx+1-m-1)2=5,
整理得:(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,
∴x1x2=
m2-5
1+m2
,
由②得:x=
y+m-1
m

代入①消去x得:
(y+m-1)2
m2
+(y-1)2=5,
整理得:(1+m2)y2+2(m-1-m2)y-3m2-2m+1=0,
∴y1y2=
-3m2-2m+1
1+m2
,
又以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),
∴∠AOB=90°,
∴k直線AO•k直線BO=-1,即
y1y2
x1x2 
=-1,
∴x1x2+y1y2=0,即
m2-5
1+m2
+
-3m2-2m+1
1+m2
=
-2m2-2m-4
1+m2
=0,
∴m2+m+2=0,
∵△=1-8=-7<0,
∴此方程無解,
則不存在m使直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)且以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn).即滿足題意的直線l方程不存在.
點(diǎn)評(píng):此題考查了直線與圓相交的性質(zhì),涉及的知識(shí)有:兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)到直線的距離公式,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,垂徑定理,勾股定理,以及恒過定點(diǎn)的直線方程,直線與圓相交時(shí),常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn),利用弦長(zhǎng)的一半,圓的半徑以及弦心距構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理來解決問題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0
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17
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已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0,
(1)求證對(duì)m∈R,直線l和圓C總相交;
(2)設(shè)直線l和圓C交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)|AB|取得最大值時(shí),求直線l的方程.

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已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0
(1)求證:對(duì)m∈R,直線l與C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)設(shè)l與C交于A、B兩點(diǎn),若|AB|=
17
,求l的方程;
(3)設(shè)l與C交于A、B兩點(diǎn)且kOA+kOB=2,求直線l的方程.

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