Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0
（1）求證：直線l恒過定點；
（2）設(shè)l與圓交于A、B兩點，若|AB|=

17

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由于m的任意性，把直線l的方程化為（x-1）m-y+1=0，令x-1=0和-y+1=0求解；
（2）利用弦長先求出弦心距，再由圓心到直線的距離求出m的值．

解答：（1）證明：把直線l的方程化為（x-1）m-y+1=0，由于m的任意性，
∴

x-1=0 -y+1=0

，解得x=1，y=1
∴直線l恒過定點（1，1）．
（2）解：由題意知，圓心C（0，1），半徑R=

5

；
∵l與圓交于A、B兩點且|AB|=

17

，
∴圓心C到l得距離d=

R2-( 1 2 |AB|)2

=

5- 17 4

=

3

2

，
∵直線l：mx-y+1-m=0
∴d=

|0-1+1-m|

m2+1

=

3

2

，解得m=±

3

，
∴所求直線l為

3

x-y+1-

3

=0，或

3

x+y-1-

3

=0．

點評：本題考點是直線過定點問題轉(zhuǎn)化為方程恒成立問題，以及圓與直線相交時半徑、弦長的一半和弦心距的關(guān)系和點到直線的距離公式．