有一塊邊長為4米的正方形鋼板,現(xiàn)對其進(jìn)行切割,焊接成一個(gè)長方體無蓋容器(切、焊損耗忽略不計(jì)),有人用數(shù)學(xué)知識作了如下設(shè)計(jì):在鋼板的四個(gè)角處各切去一個(gè)小正方形,剩余部分圍成長方體.
(Ⅰ)求這種切割、焊接而成的長方體的最大容積V1
(Ⅱ)請問:能重新設(shè)計(jì),使所得長方體的容器的容積V2>V1嗎?若能、給出你的一種設(shè)計(jì)方案.
分析:(I)設(shè)出小正方形的邊長為x,則長方體的長寬都為4-2x,體積等于長×寬×高,求出體積的導(dǎo)數(shù),令其等于零得出最大容積.
(II)主要對題意理解清楚,說的是材料有所浪費(fèi),想到在兩個(gè)角切去小正方形,去下的小正方形焊到對邊上組成新的長方體體積比原來的大.
解答:解:(I)設(shè)切去正方形邊長為x,則焊接成的長方體的底面邊長為4-2x,高為x,
∴V1=(4-2x)2•x=4(x3-4x2+4x)(0<x<2).
∴V1′=4(3x2-8x+4).
令V1′=0,得x1=
2
3
,x2=2(舍去).
而V1′=12(x-
2
3
)(x-2),
又當(dāng)x<
2
3
時(shí),V1′>0;當(dāng)
2
3
<x<2時(shí),V1′<0,
∴當(dāng)x=
2
3
時(shí),V1取最大值
128
27

(II)重新設(shè)計(jì)方案如下:
如圖①,在正方形的兩個(gè)角處各切下一個(gè)邊長為1的小正方形;
如圖②,將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間;
如圖③,將圖②焊成長方體容器.
新焊長方體容器底面是一長方形,長為3,寬為2,
此長方體容積V2=3×2×1=6,
顯然V2>V1
故第二種方案符合要求.
點(diǎn)評:此題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間的最值以及第二問是開放性問題,考查學(xué)生的實(shí)際操作能力.
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