Question

（2012•許昌一模）設(shè)x，y滿足

x-ay≤2 x-y≥-1 2x+y≥4

時(shí)，則z=x+y既有最大值也有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A．a(chǎn)＜1
• B．-

  1

  2

  ＜a＜1
• C．0≤a＜1
• D．a(chǎn)＜0

Answer 1

分析：畫出約束條件表示的可行域，利用z=x+y既有最大值也有最小值，利用直線的斜率求出a的范圍．

解答：解：滿足

x-y≥-1 2x+y≥4

的平面區(qū)域如下圖所示：
而x-ay≤2表示直線x-ay=2左側(cè)的平面區(qū)域
∵直線x-ay=2恒過（2，0）點(diǎn)，
當(dāng)a=0時(shí)，可行域是三角形，z=x+y既有最大值也有最小值，
滿足題意；
當(dāng)直線x-ay=2的斜率

1

a

滿足：

1

a

＞1或

1

a

＜-2，即-

1

2

＜a＜0或0＜a＜1時(shí)，可行域是封閉的，z=x+y既有最大值也有最小值，
綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍是：-

1

2

＜a＜1．
故選B．

點(diǎn)評：本題簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，直線的斜率，目標(biāo)函數(shù)的最值的求法是解題的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合與計(jì)算能力．