【題目】已知函數(shù),的圖象與直線分別交于、兩點,則(

A.的最小值為

B.使得曲線處的切線平行于曲線處的切線

C.函數(shù)至少存在一個零點

D.使得曲線在點處的切線也是曲線的切線

【答案】ABD

【解析】

求出兩點的坐標,得出關于的函數(shù)表達式,利用導數(shù)求出的最小值,即可判斷出A選項的正誤;解方程,可判斷出B選項的正誤;利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,結合極值的符號可判斷出C選項的正誤;設切線與曲線相切于點,求出兩切線的方程,得出方程組,判斷方程組是否有公共解,即可判斷出D選項的正誤.進而得出結論.

,得,令,得

則點、,如下圖所示:

由圖象可知,,其中

,則,則函數(shù)單調(diào)遞增,且,當時,,當時,.

所以,函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以,,A選項正確;

,,則,

曲線在點處的切線斜率為,

曲線在點處的切線斜率為,

,即,即,

滿足方程,所以,使得曲線處的切線平行于曲線處的切線,B選項正確;

構造函數(shù),可得

函數(shù)上為增函數(shù),由于,,

則存在,使得,可得,

時,;當時,.

,

所以,函數(shù)沒有零點,C選項錯誤;

設曲線在點處的切線與曲線相切于點,

則曲線在點處的切線方程為,即,

同理可得曲線在點處的切線方程為,

所以,,消去,

,則,

函數(shù)上為減函數(shù),,

則存在,使得,且.

時,,當時,.

所以,函數(shù)上為減函數(shù),,

由零點存在定理知,函數(shù)上有零點,

即方程有解.

所以,使得曲線在點處的切線也是曲線的切線.

故選:ABD.

練習冊系列答案
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節(jié)氣

冬至

小寒(大雪)

大寒(小雪)

立春(立冬)

雨水(霜降)

晷影長(寸)

135

節(jié)氣

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春分(秋分)

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立夏(立秋)

晷影長(寸)

75.5

節(jié)氣

小滿(大暑)

芒種(小暑)

夏至

晷影長(寸)

16.0

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