Question

已知函數(shù)f(x)＝lnx－mx（mR）．

（1）若曲線y＝f(x)過(guò)點(diǎn)P(1，－1)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)P處的切線方程；

（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的最大值；

（3）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，求證：x1x2＞e2．

 

Answer 1

（1）;（2）①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，

③當(dāng)時(shí)，;（3）詳見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意首先由點(diǎn)在曲線上，運(yùn)用待定系數(shù)的方法求出，再由切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可求出切線方程為;（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得：，分析m對(duì)導(dǎo)數(shù)的影響，可見(jiàn)要進(jìn)行分類(lèi)討論：①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性可求出最大值;②當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性可求出最大值;③當(dāng)，即時(shí)，導(dǎo)數(shù)有下有負(fù)，列表可求出函數(shù)的最大值;④當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用單調(diào)性可求出最大值;（3）顯然兩零點(diǎn)均為正數(shù)，故不妨設(shè)，由零點(diǎn)的定義可得：，即，觀察此兩式的結(jié)構(gòu)特征可相加也可相減化簡(jiǎn)得：，現(xiàn)在我們要證明，即證明，也就是．又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907161554645756_DA/SYS201411171907161554645756_DA.028.png">，所以即證明，即．由它的結(jié)構(gòu)可令＝t，則，于是．構(gòu)造一新函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求此函數(shù)的最小值大于零，即可得證．

試題解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，解得．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907161554645756_DA/SYS201411171907161554645756_DA.035.png">，所以切線的斜率為0，所以切線方程為． 3分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907161554645756_DA/SYS201411171907161554645756_DA.011.png">．

①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則．

②當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則 5分

③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

則． 7分

④當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則 9分

綜上，①當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，

③當(dāng)時(shí)，． 10分

（3）不妨設(shè)．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907161554645756_DA/SYS201411171907161554645756_DA.022.png">，所以，

可得．

要證明，即證明，也就是．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907161554645756_DA/SYS201411171907161554645756_DA.028.png">，所以即證明，即． 12分

令＝t，則，于是．

令，則．

故函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即成立．

所以原不等式成立． 16分

考點(diǎn)：1.曲線的切線;2.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用;3.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根