如圖，已知焦點在
軸上的橢圓
經過點
，直線
交橢圓于
不同的兩點．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）求實數
的取值范圍；
（3）是否存在實數，使△
是以
為直角的直角三角形，若存在，求出的值，若不存，請說明理由．
（1）
（2）
（3）見解析
解析試題分析：（1）設出橢圓方程的標準形式，由離心率的值及橢圓過點（4，1）求出待定系數，得到橢圓的標準方程．
（2）把直線方程代入橢圓的方程，由判別式大于0，求出m的范圍即可；
（3）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在實數m滿足題意，再利用△ABM為直角三角形，結合向量垂直的條件求出m，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
試題解析：解：（1）依題意
，解得
， 2分
所以橢圓的標準方程是． 3分
（2）由
得
， 4分
直線
與橢圓有兩個不同的交點，
6分
解得 7分
（3）假設存在實數滿足題意，則由為直角得
， 8分
設
，
，由（2）得
，
9分
，
10分
，
11分
12分
得
13分
因為
，
綜上所述，存在實數
使△
為直角三角形． 14分
考點：1.直線與圓錐曲線的綜合問題；2.橢圓的標準方程．
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
（
）的右焦點為
，且橢圓過點
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設斜率為
的直線
與橢圓交于不同兩點
、
，以線段
為底邊作等腰三角形
，其中頂點
的坐標為
，求△的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
上的任意一點
到該拋物線焦點的距離比該點到
軸的距離多1．
（1）求
的值；
（2）如圖所示，過定點
（2，0）且互相垂直的兩條直線
、
分別與該拋物線分別交于
、
、
、
四點．
（i）求四邊形
面積的最小值；
（ii）設線段
、
的中點分別為
、
兩點，試問：直線
是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
經過點
，離心率為
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）直線
與橢圓交于
兩點，點
是橢圓的右頂點．直線
與直線
分別與
軸交于點
，試問以線段
為直徑的圓是否過
軸上的定點？若是，求出定點坐標；若不是，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的焦點在
軸上，離心率為
，對稱軸為坐標軸，且經過點
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）直線
與橢圓
相交于
、
兩點， 
為原點，在
、上分別存在異于
點的點
、
，使得
在以
為直徑的圓外，求直線斜率
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設A1、A2與B分別是橢圓E：
＝1(a＞b＞0)的左、右頂點與上頂點，直線A2B與圓C：x2＋y2＝1相切．
(1)求證：
＝1；
(2)P是橢圓E上異于A1、A2的一點，若直線PA1、PA2的斜率之積為－
，求橢圓E的方程；
(3)直線l與橢圓E交于M、N兩點，且
·
＝0，試判斷直線l與圓C的位置關系，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知圓
，經過橢圓
的右焦點F及上頂點B，過圓外一點
傾斜角為
的直線
交橢圓于C，D兩點，
（1）求橢圓的方程；
（2）若右焦點F在以線段CD為直徑的圓E的外部，求m的取值范圍．
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是橢圓
上兩點，點
的坐標為
.
關于點
對稱時，求證：
；
經過點
時，求證：
不可能為等邊三角形.
，橢圓
以
的長軸為短軸，且與
為坐標原點，點
、
分別在橢圓
，求直線
的方程.