【題目】如圖1,2,在Rt△ABC中,AB=BC=4,點E在線段AB上,過點E作交AC于點F,將△AEF沿EF折起到△PEF的位置(點A與P重合),使得∠PEB=60°.

(1)求證:EF⊥PB;
(2)試問:當點E在何處時,四棱錐P﹣EFCB的側(cè)面的面積最大?并求此時四棱錐P﹣EFCB的體積及直線PC與平面EFCB所成角的正切值.

【答案】
(1)證明:∵EF∥BC且BC⊥AB,

∴EF⊥AB,即EF⊥BE,EF⊥PE.又BE∩PE=E,

∴EF⊥平面PBE,又PB平面PBE,

∴EF⊥PB


(2)解:設(shè)BE=x,PE=y,則x+y=4.

當且僅當x=y=2時,SPEB的面積最大,此時,BE=PE=2.

由(1)知EF⊥平面PBE,

∵EF平面EFCB,∴平面EFCB⊥平面PBE.

在平面PBE中,作PO⊥BE于O,則PO⊥平面EFCB.

即PO為四棱錐P﹣EFCB的高.

,

∴BO=1,在Rt△OBC中,

∵PO⊥平面EFCB,∴∠PCO就是PC與平面EFCB所成角.

,

故直線PC與平面EFCB所成角的正切值為


【解析】(1)推導出EF⊥AB,EF⊥BE,EF⊥PE,由此能證明EF⊥PB.。2)設(shè)BE=x,PE=y,則x+y=4,當且僅當x=y=2時,SPEB的面積最大,此時,BE=PE=2.EF⊥平面PBE,從而平面EFCB⊥平面PBE.作PO⊥BE于O,則PO為四棱錐P﹣EFCB的高,∠PCO就是PC與平面EFCB所成角.由此能求出結(jié)果.

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