Question

【題目】已知函數(shù)

(1)討論函數(shù)的單凋性；

(2)若存在使得對任意的不等式（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）都成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：

(1)首先求解導(dǎo)函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的分子分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(2)將問題進行等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造 ，結(jié)合函數(shù) 的性質(zhì)求解實數(shù) 的取值范圍即可.

試題解析：

（I） ，記

（i）當(dāng)時，因為，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（ii）當(dāng)時，因為，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（iii）當(dāng)時，由，解得，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

在區(qū)間上單調(diào)遞增．

（II）由（I）知當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，函數(shù)的最大值是，對任意的，

都存在，使得不等式成立，

等價于對任意的，不等式都成立，

即對任意的，不等式都成立，

記，由，

，

由得或,因為，所以，

①當(dāng)時， ，且時， ，

時， ，所以，

所以時， 恒成立；

②當(dāng)時， ，因為，所以，

此時單調(diào)遞增，且，

所以時， 成立；

③當(dāng)時， ， ，

所以存在使得，因此不恒成立．

綜上， 的取值范圍是．

另解（II）由（Ⅰ）知，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以時，函數(shù)的最大值是，

對任意的，都存在，

使得不等式成立，

等價于對任意的，不等式都成立，

即對任意的，不等式都成立，

記，

由，且

∴對任意的，不等式都成立的必要條件為

又，

由得或

因為，所以，

當(dāng)時， ，且時， ，

時， ，所以，

所以時， 恒成立；

②當(dāng)時， ，因為，所以，

此時單調(diào)遞增，且，

所以時， 成立．

綜上， 的取值范圍是．