Question

橢圓的左焦點(diǎn)為F，直線x=m與橢圓相交于點(diǎn)A、B，當(dāng)△FAB的周長(zhǎng)最大時(shí)，△FAB的面積是________．

Answer 1

3a²
分析：先畫出圖象，結(jié)合圖象得到△FAB的周長(zhǎng)最大時(shí)對(duì)應(yīng)的直線所在位置．即可求出結(jié)論．
解答：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E．如圖：
由橢圓的定義得：△FAB的周長(zhǎng)：AB+AF+BF=AB+（4a-AE）+（4a-BE）=8a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0，當(dāng)AB過點(diǎn)E時(shí)取等號(hào)；
∴AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤8a；
即直線x=m過橢圓的右焦點(diǎn)E時(shí)△FAB的周長(zhǎng)最大；
此時(shí)△FAB的高為：EF=2a．
此時(shí)直線x=m=c=a；
把x=a代入橢圓的方程得：y=±a．
∴AB=3a．
所以：△FAB的面積等于：S_△FAB=×3a×EF=×3a×2a=3a²．
故答案為：3a²．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．在解決涉及到圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的關(guān)系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．解決本題的關(guān)鍵在于利用定義求出周長(zhǎng)的表達(dá)式．