Question

橢圓的左焦點為F，直線x=m與橢圓相交于點A、B，當△FAB的周長最大時，△FAB的面積是   .

 

Answer 1

【答案】

3a²

【解析】

試題分析：設(shè)橢圓的右焦點為E．如圖：

由橢圓的定義得：△FAB的周長：AB+AF+BF=AB+（4a-AE）+（4a-BE）=8a+AB-AE-BE；

∵AE+BE≥AB；

∴AB-AE-BE≤0，當AB過點E時取等號；

∴AB+AF+BF=8a+AB-AE-BE≤8a；

即直線x=m過橢圓的右焦點E時△FAB的周長最大；

此時△FAB的高為：EF=2a．

此時直線x=m=c=1；

把x=1代入橢圓的方程得：y=±．

∴AB=3a．所以：△FAB的面積等于：S_△FAB=

×3a×EF=×3a×2a=3a²故答案為3a²

考點：本題主要考查橢圓的定義及幾何性質(zhì)，三角形面積計算。

點評：中檔題，在解決涉及到圓錐曲線上的“焦點三角形”問題時，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．解決本題的關(guān)鍵在于利用定義求出周長的表達式．