【題目】已知定點(diǎn)F(1,0),動(dòng)點(diǎn)P(異于原點(diǎn))在y軸上運(yùn)動(dòng),連接FP,過(guò)點(diǎn)P作PM交x軸于點(diǎn)M,并延長(zhǎng)MP到點(diǎn)N,且 , .
(1)求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡C的方程;
(2)若直線l與動(dòng)點(diǎn)N的軌跡交于A、B兩點(diǎn),若 且 ,求直線l的斜率k的取值范圍.
【答案】
(1)解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)N(x,y),則M(﹣x,0),P(0, )(x>0),
∵PM⊥PF,∴kPMkPF=﹣1,即 ,
∴y2=4x(x>0)即為所求
(2)解:設(shè)直線l方程為y=kx+b,l與拋物線交于點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),
則由 ,得x1x2+y1y2=﹣4,即 +y1y2=﹣4,∴y1y2=﹣8,
由 可得 ky2﹣4y+4b=0(其中k≠0),∴y1y2= =﹣8,b=﹣2k,
當(dāng)△=16﹣16kb=16(1+2k2)>0時(shí),
|AB|2=(1+ ) = [ ﹣4y1y2]= ( +32).
由題意, ,
可得16×6≤ ( +32)≤16×30,即4≤ ≤28,
即 ,解得 ≤k2≤1,
∴ ≤k≤1,或﹣1≤k≤﹣ .
即所求k的取值范圍是[﹣1,﹣ ]∪[ 1].
【解析】(1)設(shè)出動(dòng)點(diǎn)N,則M,P的坐標(biāo)可表示出,利用PM⊥PF,kPMspan>kPF=﹣1,求得x和y的關(guān)系式,即N的軌跡方程.(2)設(shè)出直線l的方程,A,B的坐標(biāo),根據(jù) ,推斷出x1x2+y1y2=﹣4進(jìn)而求得y1y2的值,把直線與拋物線方程聯(lián)立消去x求得y1y2的表達(dá)式,進(jìn)而氣的b和k的關(guān)系式,利用弦長(zhǎng)公式表示出|AB|2 , 根據(jù)|AB|的范圍,求得k的范圍.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解直線的斜率(一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫(xiě)字母k表示,也就是 k = tanα).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,所有棱長(zhǎng)均為2,O是底面正方形ABCD中心,E為PC中點(diǎn),則直線OE與直線PD所成角為( )
A.30°
B.60°
C.45°
D.90°
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列4個(gè)命題,其中正確的命題是 ①“ ”是“ 不共線”的充要條件;
②已知向量 是空間兩個(gè)向量,若 ,則向量 的夾角為60°;
③拋物線y=﹣x2上的點(diǎn)到直線4x+3y﹣8=0的距離的最小值是 ;
④與兩圓A:(x+5)2+y2=49和圓B:(x﹣5)2+y2=1都外切的圓的圓心P的軌跡方程為 .
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【題目】如圖,從橢圓 上一點(diǎn)P向x軸作垂線,垂足恰為左焦點(diǎn)F1 , 又點(diǎn)A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn),點(diǎn)B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn),且 . (Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ) 若M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N(4,2),求線段MN中點(diǎn)Q的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是側(cè)棱PA的中點(diǎn).
(1)求證:PC∥平面BDE
(2)求三棱錐P﹣CED的體積.
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【題目】設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 已知a1=2,且4S1 , 3S2 , 2S3成等差數(shù)列. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=|2n﹣5|an , 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(Ⅰ)解不等式|6﹣|2x+1||>1; (Ⅱ)若關(guān)于x的不等式|x+1|+|x﹣1|+3+x<m有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: ,左焦點(diǎn) ,且離心率 (Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+m(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N(M,N不是左、右頂點(diǎn)),且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A.求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).
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