【題目】如圖，在四棱錐中，已知底面，，，，，異面直線和所成角等于.

（1）求直線和平面所成角的正弦值；

（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的正切值為？若存在，指出點(diǎn)在棱上的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1）；（2）存在這樣的點(diǎn)，為棱上靠近的三等分點(diǎn).

【解析】分析：（1）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.利用空間向量法能求出直線和平面所成角的正弦值.

（2）先假設(shè)棱上存在一點(diǎn)，求出平面與平面的法向量，進(jìn)而求得二面角的余弦值，結(jié)合其正切值為，求出E點(diǎn)的位置.

詳解：解：（1）如圖，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

易知是等腰直角三角形，∴.

設(shè)，則，，，，.

則，，

∵異面直線和所成角等于，

∴，即，解得，

∵，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則由，得，所以可取，

∴.

∴直線和平面所成角的正弦值為.

（2）假設(shè)存在，設(shè)，且，則，

，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則由，得，

取，又有平面的法向量，

由平面與平面所成銳二面角的正切值為，可知余弦值為，

由，得，

解得或（不合題意）.

∴存在這樣的點(diǎn)，為棱上靠近的三等分點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】定義：如果函數(shù)f（x）在[a，b]上存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b）滿足 ， 則稱函數(shù)f（x）是[a，b]上的“中值函數(shù)”．已知函數(shù) 是[0，m]上的“中值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

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(1)若點(diǎn) 關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求證：直線經(jīng)過(guò)拋物線 的焦點(diǎn)；

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（1）求證：；

（2）若圓柱的體積，

①求三棱錐A1﹣APB的體積．

②在線段AP上是否存在一點(diǎn)M，使異面直線OM與所成角的余弦值為？若存在，請(qǐng)指出M的位置，并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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【題目】某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問(wèn)50名職工，根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為

（1）求頻率分布直方圖中的值；

（2）估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率；

（3）從評(píng)分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評(píng)分都在的概率.

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【題目】已知橢圓C1： （a＞b＞0）的離心率為 ，P（﹣2，1）是C1上一點(diǎn)．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)A，B，Q是P分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，平行于AB的直線l交C1于異于P、Q的兩點(diǎn)C，D，點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E．證明：直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形．

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（Ⅱ）求直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值．

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