已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,且焦點(diǎn)F(2,0).
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線l過焦點(diǎn)F與拋物線C相交與M,N兩點(diǎn),且|MN|=16,求直線l的傾斜角.
分析:(1)由題意可設(shè)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),由焦點(diǎn)F(2,0),可得
p
2
=2
,解得p即可.
(2)設(shè)直線l的方程為my=x-2,與拋物線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系,再利用弦長(zhǎng)公式即可得出m,進(jìn)而得到直線l的斜率k=±
1
m
,即可得出傾斜角.
解答:解:(1)由題意可設(shè)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),∵焦點(diǎn)F(2,0),∴
p
2
=2
,解得p=4.
∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=8x.
(2)設(shè)直線l的方程為my=x-2,聯(lián)立
my=x-2
y2=8x
,化為y2-8my-16=0,
∴y1+y2=8m,y1y2=-16.
∵|MN|=16,∴
(1+m2)[(8m)2-4×(-16)]
=16,化為m2=1.
解得m=±1.
∴直線l的斜率k=±1.
設(shè)直線l的傾斜角為α,則tanα=±1,解得α=45°或135°.
點(diǎn)評(píng):本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、傾斜角與斜率的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于中檔題.
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精英家教網(wǎng)已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)為F(0,1).
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)在拋物線C上是否存在點(diǎn)P,使得過點(diǎn)P的直線交C于另一點(diǎn)Q,滿足PF⊥QF,且PQ與C在點(diǎn)P處的切線垂直?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(2010•溫州一模)已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)為F(0,1),且過點(diǎn)A(2,t),
(I)求t的值;
(II)若點(diǎn)P、Q是拋物線C上兩動(dòng)點(diǎn),且直線AP與AQ的斜率互為相反數(shù),試問直線PQ的斜率是否為定值,若是,求出這個(gè)值;若不是,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)為F(
1
2
,0)
.(1)求拋物線C的方程; (2)已知直線y=k(x+
1
2
)
與拋物線C交于A、B 兩點(diǎn),且|FA|=2|FB|,求k 的值; (3)設(shè)點(diǎn)P 是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)R、N 在y 軸上,圓(x-1)2+y2=1 內(nèi)切于△PRN,求△PRN 的面積最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)F(1,0).
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)命題:“過拋物線C的焦點(diǎn)F作與x軸不垂直的任意直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M,則
|AB||FM|
為定值,且定值是2”.判斷它是真命題還是假命題,并說明理;
(Ⅲ)試推廣(Ⅱ)中的命題,寫出關(guān)于拋物線的一般性命題(注,不必證明).

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