Question

直線3x-4y-27=0上到點P（2，1）距離最近的點的坐標是

 

．

Answer 1

分析：根據題意可知，當過點P的直線與已知直線垂直時，兩直線的交點到點P的距離最短，所以根據已知直線的斜率，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1，求出過點P直線的斜率，又根據點P的坐標和求出的斜率寫出該直線的方程，然后聯立兩直線的方程得到一個二元一次方程組，求出方程組的解即可得到點B的坐標．

解答：解：根據題意可知：所求點即為過P點垂直于已知直線的交點，
因為已知直線3x-4y-27=0的斜率為

3

4

，所以過P點垂直于已知直線的斜率為-

4

3

，
又P（2，1），
則該直線的方程為：y-1=-

4

3

（x-2）即4x+3y-11=0，
聯立得：

4x+3y-11=0① 3x-4y-27=0②

，
①×4+②×3得：25x=125，解得x=5，
把x=5代入①解得y=-3，
所以

x=5 y=-3

，
則直線3x-4y-27=0上到點P（2，1）距離最近的點的坐標是（5，-3）．
故答案為：（5，-3）

點評：此題考查學生掌握兩直線垂直時斜率的關系，會根據兩直線的方程求出兩直線的交點坐標，是一道中檔題．解本題的關鍵是過點P在已知直線的垂線，垂足即為已知直線上到點P的最短距離的點．