Question

20．已知關(guān)于x的不等式lnx-$\frac{1}{2}$ax²+（1-a）x+1≤b恒成立；則ab的最小值為（　�。�

• A． 1+$\frac{2}{e}$
• B． $\frac{1}{2}$+$\frac{2}{e}$
• C． 1+$\frac{1}{e}$
• D． $\frac{1}{2}$+$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)單調(diào)性，判斷其最值的存在性．利用單調(diào)性討論函數(shù)f（x）的最值，從而求解ab的最小值．

解答 解：令f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+（1-a）x+1，那么f′（x）=$\frac{-a{x}^{2}+（1-ax）+1}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)閤＞0，所以f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，不符合題意．
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=$\frac{-a{x}^{2}+（1-ax）+1}{x}$=$\frac{a（x-\frac{1}{a}）（x+1）}{x}$，令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{a}$，
所以：當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{a}$）時(shí)減函數(shù)，故函數(shù)f（x）的最大值為f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{2a}-lna$，所以$\frac{1}{2a}-lna$≤b，那么ab≥$\frac{1}{2}-alna$．
令h（a）=$\frac{1}{2}-alna$，則h′（a）=-（1+lna），
當(dāng)a∈（0，$\frac{1}{e}$）時(shí)，h′（a）＞0，
當(dāng)a＞$\frac{1}{e}$，h′（a）＜0，所以h（$\frac{1}{e}$）_max=$\frac{1}{2}+\frac{1}{e}$，故得ab≥$\frac{1}{2}+\frac{1}{e}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)對(duì)單調(diào)性研究轉(zhuǎn)化成最值的討論，求其在最值上的恒成立問(wèn)題．屬于難題．