Question

8．如圖，CE是⊙O的直徑，BD切⊙O于點D，DE∥BO，CE的延長線交BD于點A
（1）求證：直線BC是⊙O的切線；
（2）若AE=2，tan∠DEO=$\sqrt{2}$，求AO的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)DE∥BO，得到∠1=∠4，∠2=∠3，通過△DOB≌△COB，得到∠OCB=∠ODB，即可得到結論；
（2）根據(jù)三角函數(shù)tan∠DEO=tan∠2=$\sqrt{2}$，設OC=r，則BD=BC=$\sqrt{2}$r，由切割線定理得到AD=2$\sqrt{1+r}$，再由平行線分線段成比例得到比例式即可求得結果．

解答 （1）證明：連接OD，
∵DE∥BO，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵OD=OE，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
在△DOB與△COB中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OC}\\{∠1=∠2}\\{OB=OB}\end{array}\right.$，
∴△DOB≌△COB，
∴∠OCB=∠ODB，
∵BD切⊙O于點D，
∴∠ODB=90°，
∴∠OCB=90°，
∴AC⊥BC，
∴直線BC是⊙O的切線；
（2）解：∵∠DEO=∠2，
∴tan∠DEO=tan∠2=$\sqrt{2}$，
設；OC=r，BC=$\sqrt{2}$r，
由（1）證得△DOB≌△COB，
∴BD=BC=$\sqrt{2}$r，
由切割線定理得：AD²=AE•AC=2（2+r），
∴AD=2$\sqrt{1+r}$，
∵DE∥BO，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{OE}$，
∴$\frac{2\sqrt{1+r}}{\sqrt{2}r}=\frac{2}{r}$，
∴r=1，
∴AO=3．

點評 本題考查圓的切線的證明，考查切割線定理的運用，考查三角形全等的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．