Question

【題目】已知橢圓： 上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓： 與直線相切.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線： （）與橢圓相交于兩不同點(diǎn)，若橢圓上一點(diǎn)滿足，求面積的最大值及此時(shí)的.

Answer 1

【答案】（1）；（2）時(shí)， 的面積的最大值為.

【解析】試題分析：

（1）利用寫出直線的方程，由圓與直線相切可得的一個(gè)方程，由離心率又得，結(jié)合可解得，得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去后得的一元二次方程，由判別式大于0得的取值范圍，設(shè)交點(diǎn)為，由韋達(dá)定理得，利用橢圓中的弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)，再求得原點(diǎn)到直線的距離（即為到直線距離），于是的面積就可用表示出來了，再由換元法（設(shè)）可求得最大值．

試題解析：

（1）由題意，直線的方程為，即為.因?yàn)閳A與直線相切，所以，…………①

設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)?/span>， ，所以，…………②

由①②得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由可得，設(shè)，則

∴，

所以，

又點(diǎn)到直線的距離，

∵，∴，又因?yàn)?/span>

得，又，∴，令，則，所以當(dāng)， 時(shí)， 最大值為，所以當(dāng)時(shí)， 的面積的最大值為.