Question

已知函數(shù)f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，c∈R，b∈N，a＞0，b＞0）是奇函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)有最小值2，且f（1）＜

5

2

．
（1）求f（x）的解析式．
（2）函數(shù)f（x）圖象上是否存在兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱？若存在，求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到c=0，進(jìn)而求出函數(shù)的表達(dá)式；（2）假設(shè)存在，得到方程式解出即可．

解答： 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函數(shù)，
所以f（-x）=-f（x），即

ax2+1

-bx+c

=-

ax2+1

bx+c

，化簡(jiǎn)得c=0．
因?yàn)閍＞0，b＞0，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，
f（x）=

ax

b

+

1

bx

≥2

ax b • 1 bx

=2

a b2

=2，
當(dāng)且僅當(dāng)

ax

b

=

1

bx

，即x=

1

a

時(shí)，等號(hào)成立，
所以a=b²，f（x）=bx+

1

bx

．
由f（1）=b+

1

b

＜

5

2

，解得

1

2

＜b＜2．
又b∈N，所以b=1，a=b²=1．故f（x）=

x2+1

x

．
（2）設(shè)存在兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，
則有①

x1+x2 2 =1 y1+y2 2 =0.

②

y1=x1+ 1 x1 y2=x2+ 1 x2 .

②代人①化簡(jiǎn)，得

x1+x2=2 x1x2=-1

解得

x1=1+ 2 x2=1- 2

或

x1=1- 2 x2=1+ 2 .

所以存在點(diǎn)（1+

2

，2

2

）、（1-

2

，-2

2

）關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性，考查了對(duì)稱性問(wèn)題，是一道中檔題．