已知橢圓:的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè),、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn),連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn),求直線的斜率的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,證明直線與軸相交于定點(diǎn).
(1) (2) 或(3)見解析
【解析】本試題主要是考查了橢圓方程求解以及直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用,直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。
(1)因?yàn)闄E圓:的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.根據(jù)橢圓的性質(zhì)和線圓的位置關(guān)系得到a,b的值。
(2)由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立方程組,結(jié)合韋達(dá)定理得到參數(shù)k,然后借助于判別式得到范圍。
(3)設(shè)點(diǎn),則,直線的方程為
令,得,將代入整理,得.得到兩根的關(guān)系式,結(jié)合韋達(dá)定理得到定點(diǎn)。
解:⑴由題意知,所以,即,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810463399329238/SYS201209081047068094763524_DA.files/image021.png">,所以,故橢圓的方程為:.………4分
⑵由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為 ①
聯(lián)立消去得:,……..6分
由得,……….7分
又不合題意,
所以直線的斜率的取值范圍是或.……….9分
⑶設(shè)點(diǎn),則,直線的方程為
令,得,將代入整理,得. ②…………….12分
由得①代入②整理,得,
所以直線與軸相交于定點(diǎn).……….14分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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