Question

（A題） （奧賽班做）已知橢圓E的離心率為e，左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，拋物線C以F₁頂點(diǎn)，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，P為兩曲線的一個交點(diǎn)，

|PF1|

|PF2|

=e，則e的值為

3

3

．

Answer 1

分析：設(shè)P到橢圓左準(zhǔn)線的距離為d，根據(jù)橢圓的第二定義可知|PF₁|=ed，根據(jù)已知條件可知|PF₂|=d，即橢圓和拋物線的準(zhǔn)線重合，進(jìn)而可以推斷出橢圓的焦準(zhǔn)距等于拋物線焦準(zhǔn)距的一半，也等于橢圓的焦距，建立等式求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而求得離心率e．

解答：解：設(shè)P到橢圓左準(zhǔn)線的距離為d，則|PF₁|=ed，
又因?yàn)閨PF₁|=e|PF₂|，所以|PF₂|=d，
即橢圓和拋物線的準(zhǔn)線重合，而拋物線C₂以F₁為頂點(diǎn)，以F₂為焦點(diǎn)
所以橢圓的焦準(zhǔn)距等于拋物線焦準(zhǔn)距的一半，也等于橢圓的焦距，即

a2

c

-c=2c，
解得a²=3c²，所以橢圓的離心率e=

3

3

．
故答案為：

3

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，考查了學(xué)生對橢圓第一定義和第二定義的靈活運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是判斷出橢圓和拋物線的準(zhǔn)線重合．