Question

已知所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，，求：

⑴．直線AD與平面BCD所成角的大小；
⑵．直線AD與直線BC所成角的大小；
⑶．二面角A-BD-C的余弦值．

Answer 1

⑴∠ADH=45°⑵90°⑶

(1)本小題關(guān)鍵是找出線面角，在平面ABC內(nèi)，過A作AH⊥BC，垂足為H，
則AH⊥平面DBC，∴∠ADH即為直線AD與平面BCD所成的角.
(2)易證,所以,所以直線AD與直線BC所成角為.
(3)找（做）出二面角A-BD-C的平面角是解決本小題的關(guān)鍵.本小題可采用三垂線定理定角法.過H作HR⊥BD，垂足為R，連結(jié)AR，則由三垂線定理知，AR⊥BD，故∠ARH為二面角A—BD—C的平面角的補(bǔ)角.
解：⑴如圖，在平面ABC內(nèi)，過A作AH⊥BC，垂足為H，
則AH⊥平面DBC，∴∠ADH即為直線AD與平面BCD所成的角 
由題設(shè)知△AHB≌△AHD，則DH⊥BH，AH=DH，∴∠ADH=45°…………….5分
⑵∵BC⊥DH，且DH為AD在平面BCD上的射影，  ∴BC⊥AD，
故AD與BC所成的角為90°  ……9分
⑶過H作HR⊥BD，垂足為R，連結(jié)AR，則由三垂線定理知，AR⊥BD，故∠ARH為二面角A—BD—C的平面角的補(bǔ)角 設(shè)BC=a,則由題設(shè)知，AH=DH=,在△HDB中，HR=a，∴tanARH==2
故二面角A—BD—C的余弦值的大小為 …………14分