Question

已知函數(shù)y=f（x），x∈N^*，y∈N^*，滿足：①對任意，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）；②對任意n∈N^*都有f[f（n）]=3n．
（1）試證明：f（x）為N^*上的單調(diào)增函數(shù)；
（2）求f（1）+f（6）+f（30）；
（3）令，試證明：，判斷S_n與的大小（不需要證明）

Answer 1

解：（1）由①知，對任意a，b∈N^*，a＜b，
都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，
由于a-b＜0，從而f（a）＜f（b），
所以函數(shù)f（x）為N^*上的單調(diào)增函數(shù)．（3分）
（2）令f（1）=a，則a＞1，
顯然a≠1，否則f（f（1））=f（1）=1，與f（f（1））=3矛盾．
從而a＞1，而由f（f（1））=3，即得f（a）=3．
又由（I）知f（a）＞f（1）=a，即a＜3．
于是得1＜a＜3，
又a∈N^*，從而a=2，即f（1）=2．（5分）
而由f（a）=3知，f（2）=3．
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，（7分）
f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
f（27）=f（f（18））=3×18=54，
f（54）=f（f（27））=3×27=81，
由于54-27=81-54=27，
而且由（I）知，函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)，因此f（30）=54+3=57．
從而f（1）+f（6）+f（30）=2+9+57=68．（9分）
（3）解法一：，
，a₁=f（3）=6．
即數(shù)列{a_n}是以6為首項，以3為公比的等比數(shù)列．
∴．（11分）
于是，
顯然，（12分）
解法二：裂項求和：
（不需要證明），
從而．
綜上所述，．（14分）
分析：（1）由①知，對任意a，b∈N^*，a＜b，都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，由于a-b＜0，從而f（a）＜f（b），由此能夠證明函數(shù)f（x）為N^*上的單調(diào)增函數(shù)．
（2）令f（1）=a，則a＞1，由f（f（1））=3，即得f（a）=3．由f（a）＞f（1）=a，即a＜3．于是得1＜a＜3，又a∈N^*，從而a=2，即f（1）=2，由此能求出f（1）+f（6）+f（30）．
（3）法一：，，a₁=f（3）=6．即數(shù)列{a_n}是以6為首項，以3為公比的等比數(shù)列．故．由此能夠證明，（12分）
法二：裂項求和：由，知，由此能夠證明．
點評：本題考查單調(diào)函數(shù)的證明，考查函數(shù)值的求法，考查不等式的證明．具體涉及到數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用、函數(shù)與數(shù)列的有機結(jié)合，解題時要認真審題，注意裂項求和法的靈活運用．