(14分)設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,上頂點(diǎn)為,在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn),滿足,且.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)D是過(guò)三點(diǎn)的圓上的點(diǎn),D到直線的最大距離等于橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng),求橢圓的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,過(guò)右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn),在軸上是否存在點(diǎn)使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形,如果存在,求出的取值范圍,如果不存在,說(shuō)明理由.
(Ⅰ) ;(Ⅱ).(Ⅲ).
解析試題分析:(I) B(x0,0),根據(jù),且,可得,
據(jù)此可得,所以離心率.
(II)在(I)的基礎(chǔ)上由離心率可知,可用a表示△的外接圓圓心和半徑,再根據(jù)
圓心到直線的距離為,建立關(guān)于a的方程求出a的值,橢圓方程為.
(III)直線方程與橢圓方程聯(lián)立消y得,下一步解題的關(guān)鍵是把借助韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于k,m的方程,從而可用k表示m,再利用函數(shù)的方法求出m的取值范圍.
(Ⅰ)設(shè)B(x0,0),由(c,0),A(0,b),
知
,
由于 即為中點(diǎn).
故
,
故橢圓的離心率
(Ⅱ)由(1)知得于是(,0), B,
△的外接圓圓心為(,0),半徑r=||=,
D到直線的最大距離等于,所以圓心到直線的距離為,
所以,解得=2,∴c =1,b=,
所求橢圓方程為. ------------------8分
(Ⅲ)由(2)知, :
代入得
設(shè),
則, ------------------10分
由于菱形對(duì)角線垂直,則
故,則
------------------12分
由已知條件知且
故存在滿足題意的點(diǎn)P且的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(12分)已知橢圓右焦點(diǎn)為,M為橢圓的上頂點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且是等腰直角三角形,(1)求橢圓的方程(2)過(guò)M分別作直線MA,MB,交橢圓于A,B兩點(diǎn),設(shè)兩直線的斜率分別為,且,證明:直線AB過(guò)定點(diǎn),并求定點(diǎn)的坐標(biāo)。
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(本小題滿分12分)已知拋物線:的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線:的左焦點(diǎn),若拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)是.
(1)求拋物線的方程; (2)求雙曲線的方程.
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已知離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),平行于的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)。
(1)求橢圓的方程。
(2)證明:若直線的斜率分別為、,求證:+=0。
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已知拋物線C:,為拋物線上一點(diǎn),為關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若過(guò)滿足(1)中的點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn), 且斜率分別為,且,求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
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(本題滿分12分)
已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為,最小值為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn)),且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn).求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的兩條漸近線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),且兩條漸近線
與以點(diǎn) 為圓心,1為半徑的圓相切,又知的一個(gè)焦點(diǎn)與關(guān)于直線
對(duì)稱.
(1)求雙曲線的方程;
(2)設(shè)直線與雙曲線的左支交于,兩點(diǎn),另一直線經(jīng)過(guò) 及的中點(diǎn),求直線在軸上的截距的取值范圍.
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(本小題滿分14分)已知直線L:與拋物線C:,相交于兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn),的面積為.
(Ⅰ)若直線L上與連線距離為的點(diǎn)至多存在一個(gè),求的范圍。
(Ⅱ)若直線L上與連線的距離為的點(diǎn)有兩個(gè),分別記為,且滿足 恒成立,求正數(shù)的范圍.
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