Question

二次函數(shù)f（x）=x²+2ax+2a+1．
（1）若對(duì)任意x∈R，有f（x）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）≥1?x²+2ax+2a≥0對(duì)任意x∈R恒成立，據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)有△≤0，解出即可；
（2）f（x）=（x+a）²-a²+2a+1，其圖象是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸方程為x=-a，按對(duì)稱軸x=-a與區(qū)間[0，1]的位置，分三種情況討論即可；

解答： 解：（1）f（x）≥1?x²+2ax+2a≥0對(duì)任意x∈R恒成立，
∴△=4a²-8a≤0，
解得0≤a≤2，
∴a的范圍是[0，2]；
（2）f（x）=（x+a）²-a²+2a+1，
其圖象是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸方程為x=-a，
討論：
①當(dāng)-a≤0，即a≥0時(shí)，
f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增；
②當(dāng)0＜-a＜1，即-1＜a＜0時(shí)，
f（x）在區(qū)間[0，-a]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[-a，1]上單調(diào)遞增；
③當(dāng)-a≥1，即a≤-1時(shí)，
f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，對(duì)于函數(shù)恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題加以解決，屬中檔題．