Question

某中學(xué)設(shè)計一項(xiàng)綜合學(xué)科的考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取三道題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作，已知在6道備選題中，考生甲有4道題能正確完成，兩道題不能正確完成；考生乙每道題正確完成的概率都是，且每道題正確完成與否互不影響．
（1）分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列；
（2）分別求甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

解析：（1）設(shè)考生甲、乙正確完成題數(shù)分別為ξ，η，則ξ取值分別為1，2，3；η取值分別為0，1，2，3．
則 P=（ξ=1）=，P=（ξ=2）=，P=（ξ=3）=，
∴考生甲正確完成題數(shù)的概率分布列為

P（η=0）=C₃⁰，P（η=1）=C₃¹，
P（η=2）=C₃²，P（η=3）=C₃³，
∴考生乙正確完成題數(shù)的概率分布列為

（2）Eξ=1×+2×+3×=2； Eη=0×．
另解：實(shí)際上η服從二項(xiàng)分布B（3，），∴Eη=3×=2．（12分）
分析：（1）設(shè)考生甲、乙正確完成題數(shù)分別為ξ，η，則ξ取值分別為1，2，3；η取值分別為0，1，2，3．
再求出ξ，η取每個值時的概率，即得他們的分布列．
（2）根據(jù)他們的分布列，代入數(shù)學(xué)期望的公式，分別求它們的數(shù)學(xué)期望．
點(diǎn)評：本題考查求離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的方法，關(guān)鍵是找出隨機(jī)變量的取值范圍，以及取每個值時對應(yīng)的概率．