如圖，
分別是正三棱柱
的棱
、
的中點，且棱
，
.
（1）求證：
平面
；
（2）在棱上是否存在一點
，使二面角
的大小為
，若存在，求
的長，若不存在，說明理由。
（1）見解析（2）不存在
解析試題分析：（1）連結(jié)
交
于F，連結(jié)DF，EF，因為E是的中點，所以EF平行且等于
的一半，又因為D是
的中點，所以
，所以
是平行四邊形，所以DF∥A1E，所以平面；（2）在正三棱柱中建立空間直角坐標系，假設(shè)在AA1上存在M滿足條件，求出
，設(shè)
=
(
)，用
表示出M點坐標，利用向量法求出二面角M-BC1-B1的大小的余弦值，根據(jù)題意列出關(guān)于的方程，若能解出則存在，否則不存在.
試題解析：【法一】（1）在線段
上取中點
，連結(jié)
、
.
則
，且
，∴
是平行四邊形 3′
∴
，又
平面，
平面，
∴平面. 5′
（2）由
，
，得
平面
.
過點
作
于
，連結(jié)
.
則
為二面角
的平面角 8′
在
中，由
，
得邊上的高為
，∴
，又
，
∴
，∴
. 11′
∴在棱上時，二面角總大于.
故棱上不存在使二面角的大小為的點． 12′
【法二】建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
、
、
、
、
、
.
∴
、
、
、
數(shù)學奧賽暑假天天練南京大學出版社系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知
側(cè)面
，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=
.
(1) 求證：C1B⊥平面ABC；
（2）設(shè)
=l
(0≤l≤1)，且平面AB1E與BB1E所成的銳二面角
的大小為30°，試求l的值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2DE＝2，M為AD的中點．
(1)證明：MF⊥BD；
(2)若二面角A－BF－D的平面角的余弦值為
，求AB的長．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC
底面ABCD．已知
ABC=45o，AB=2，BC=2
，SA=SB=
．
(1)證明：SABC；
(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值．
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是正方形，
平面
，
，
，
，
分別為
，
，
的中點．
平面
；
與平面
所成銳二面角的大小.
與向量
平行,則
__
，若向量
互相垂直，則
的值為 。
，且l的方向向量為(2, m, 1), 平面
, 2), 則m= .