Question

某廠家擬在2008年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費用m萬元（m≥0）滿足x=3-

k

m+1

(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件，已知2008年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元．廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用）．
（Ⅰ）將2008年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；
（Ⅱ）該廠家2008年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意把m=0，x=1代入x=3-

k

m+1

求出k值，求出每件產(chǎn)品的銷售價格，由利潤等于收入減去費用得到利潤y萬元與促銷費用m萬元的函數(shù)關系式；
（Ⅱ）直接利用基本不等式求最值．

解答：解：（I）由題意可知當m=0時，x=1（萬件），∴1=3-k，即k=2，
∴x=3-

2

m+1

，
每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×

8+16x

x

（元），
∴2008年的利潤y=x[1.5×

8+16x

x

]-(8+16x+m)
=4+8x-m=4+8(3-

2

m+1

)-m
=-[

16

m+1

+(m+1)]+29(m≥0)；
（II）當m≥0時，

16

m+1

+(m+1)≥2

16 m+1 •(m+1)

=8，
∴y≤-9+29=21，
當且僅當

16

m+1

=m+1，即m=3（萬元）時，y_max=21（萬元）．
答：該廠家2008年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元．

點評：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應用，考查了簡單的數(shù)學建模思想方法，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．