Question

已知函數(shù)f（x），x∈R，對任意x₁、x₂∈R，均有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），又x＞0時，f（x）＜0，f（1）=a，試判斷函數(shù)f（x）在[-3，3]上是否有最值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件，x₁=x₂=0得到f（0）=0，x₁+x₂=0，得到f（-x₁）=-f（x₁），再令x₁＜x₂，由條件得到f（x）在R上是單調(diào)遞減，從而函數(shù)f（x）在[-3，3]上是單調(diào)遞減的，得到f（-3）為最大值，f（3）為最小值，討論a=0，a＜0，a＞0判斷有無最值即可．

解答： 解：∵對任意x₁、x₂∈R，均有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴令x₁=x₂=0，則f（0）=2f（0），f（0）=0，
∴令x₁+x₂=0，則f（0）=f（x₁）+f（-x₁），即f（-x₁）=-f（x₁），
令x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵x＞0時，f（x）＜0，∴f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x）在R上是單調(diào)遞減，
∵f（1）=a，∴f（2）=2f（1）=2a，f（3）=f（1）+f（2）=3a，f（-3）=-3a，
∴函數(shù)f（x）在[-3，3]上是單調(diào)遞減的，
∴當(dāng)a≥0時，函數(shù)無最值；當(dāng)a＜0時，f（-3）為最大值，且為-3a；f（3）為最小值，且為3a．

點(diǎn)評：本題主要考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值，同時考查函數(shù)的單調(diào)性和應(yīng)用，求函數(shù)的最值．屬于中檔題．