在銳角三角形ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且滿足
3
a-2bsinA=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=
7
，c=2，求
AB
•
AC
的值．
分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知的等式，整理后根據(jù)sinA不為0，求出sinB的值，由B為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（Ⅱ）由B的度數(shù)求出cosB的值，再由b與c的值，利用余弦定理列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，再利用余弦定理表示出cosA，將三邊長代入求出cosA的值，然后利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡所求的式子后，將各自的值代入即可求出值．
解答：解：（Ⅰ）由
3
a-2bsinA=0，
根據(jù)正弦定理得：
3
sinA-2sinBsinA=0，…（3分）
∵sinA≠0，∴sinB=
3
2
，…（5分）
又B為銳角，
則B=
π
3
；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，B=
π
3
，
∵b=
7
，c=2，
根據(jù)余弦定理得：7=a2+4-4acos
π
3
，…（8分）
整理得：a2-2a-3=0，由于a＞0，解得：a=3，…（10分）
∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
7+4-9
4
7
=
7
14
，…（11分）
則
AB
•
AC
=|
AB
|•|
AC
|cosA=cbcosA=2×
7
×
7
14
=1．…（13分）
點(diǎn)評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及法則是解本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在銳角三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且a=2bsinA．
（1）求∠B的大�。�
（2）若a=3
3
，c=5，求邊b的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在銳角三角形ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且滿足
3
a-2bsinA=0．
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）若b=
7
，c=2，求
AB
•
AC
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在銳角三角形ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，
p
=(a+c，b)，
q
=（c-a，b-c）且
p
⊥
q

（1）求A的大�。�
（2）記f(B)=2sin2B+sin(2B+
π
6
)，求f（B）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•南充一模）在銳角三角形ABC中，角A，B，C對邊a，b，c且a2+b2-
2
ab=c2，tanA-tanB=csc2A
①求證：2A-B=
π
2
；
②求三角形ABC三個(gè)角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題p：在銳角三角形ABC中，?A，B，使sinA＜cosB；命題q：?x∈R，都有x2+x+1＞0，給出下列結(jié)論：
①命題“p∧q”是真命題；           
②命題“￢p∨q”是真命題；
③命題“￢p∨￢q”是假命題；       
④命題“p∧￢q”是假命題；
其中正確結(jié)論的序號(hào)是（　　）

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