Question

已知橢圓的離心率，且直線是拋物線的一條切線.

（1）求橢圓的方程；

（2）點(diǎn)P 為橢圓上一點(diǎn)，直線，判斷l(xiāng)與橢圓的位置關(guān)系并給出理由；

（3）過橢圓上一點(diǎn)P作橢圓的切線交直線于點(diǎn)A，試判斷線段AP為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

 

Answer 1

(1) ;(2)相切；(3)定點(diǎn)

【解析】

試題分析：（1）利用離心率,直線是拋物線的一條切線，所以聯(lián)立方程得到，利用橢圓中,算出.求出方程.

(2)直線與橢圓方程聯(lián)立，注意用到平方相減消，得到關(guān)于的方程，求其，利用點(diǎn)在橢圓上的條件，判定直線與橢圓的位置關(guān)系;

3. 首先取兩種特殊情形：切點(diǎn)分別在短軸兩端點(diǎn)時(shí),求其切線方程，并求他們的交點(diǎn)，交點(diǎn)有可能是恒過的定點(diǎn)，如果是圓上恒過的定點(diǎn)，如果是則需滿足，,從而判定所求交點(diǎn)是否是真正的定點(diǎn).此題屬于較難習(xí)題.

試題解析：（1）因?yàn)橹本�是拋物線的一條切線，

所以，

即 2分

又，所以，

所以橢圓的方程是. 4分

（2）由

得

由①2+②得

∴直線l與橢圓相切 8分

（3）首先取兩種特殊情形：切點(diǎn)分別在短軸兩端點(diǎn)時(shí)，

求得兩圓的方程為，

兩圓相交于點(diǎn)（，0），（，0），

若定點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)（.

則需證：.設(shè)點(diǎn)，則橢圓過點(diǎn)P的切線方程是，

所以點(diǎn)

，

所以. 11分

若定點(diǎn)為，

則，不滿足題意.

綜上，以線段AP為直徑的圓恒過定點(diǎn)（，0）. 13分

考點(diǎn)：1.橢圓的性質(zhì)與方程；2.直線與圓錐曲線相交時(shí)的綜合問題.