Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為（1+cos2θ）=8sinθ．

（1）求曲線C的普通方程；

（2）直線l的參數(shù)方程為,t為參數(shù)直線與y軸交于點(diǎn)F與曲線C的交點(diǎn)為A，B，當(dāng)|FA||FB|取最小值時，求直線的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

【答案】（1）x2=4y；（2）y=1

【解析】

（1）根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ將極坐標(biāo)方程化為普通方程，（2）將直線參數(shù)方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及參數(shù)幾何意義求|FA||FB|，最后根據(jù)三角函數(shù)有界性確定最值，解得結(jié)果.

（1）由題意得ρ（1+cos2θ）=8sinθ，得2ρcos2θ=8sinθ，得ρ2cos2θ=4ρsinθ，

∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴x2=4y，即曲線C的普通方程為x2=4y．

（2）由題意可知，直線與y軸交于點(diǎn)F（0，1）即為拋物線C的焦點(diǎn)，

令|FA|=|t1|，|FB|=|t2|，將直線的參數(shù)方程代入C的普通方程x2=4y中，

整理得t2cos2α-4tsinα-4=0，

由題意得cosα≠0，根據(jù)韋達(dá)定理得：t1+t2=，t1t2=，

∴|FA||FB|=|t1||t2|=|t1t2|=≥4，（當(dāng)且僅當(dāng)cos2α=1時，等號成立），

∴當(dāng)|FA||FB|取得最小值時，直線的直角坐標(biāo)方程為y=1．