【題目】已知函數(shù) ,函數(shù) x.
(1)若g(mx2+2x+m)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)當(dāng)x∈[﹣1,1]時(shí),求函數(shù)y=[f(x)]2﹣2af(x)+3的最小值h(a);
(3)是否存在非負(fù)實(shí)數(shù)m、n,使得函數(shù) 的定義域?yàn)閇m,n],值域?yàn)閇2m,2n],若存在,求出m、n的值;若不存在,則說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:∵ ,
∴ ,
令u=mx2+2x+m,則 ,
當(dāng)m=0時(shí),u=2x, 的定義域?yàn)椋?,+∞),不滿足題意;
當(dāng)m≠0時(shí),若 的定義域?yàn)镽,
則 ,
解得m>1,
綜上所述,m>1
(2)
解: = ,x∈[﹣1,1],
令 ,則 ,y=t2﹣2at+3,
∵函數(shù)y=t2﹣2at+3的圖象是開(kāi)口朝上,且以t=a為對(duì)稱軸的拋物線,
故當(dāng) 時(shí), 時(shí), ;
當(dāng) 時(shí),t=a時(shí), ;
當(dāng)a>2時(shí),t=2時(shí),h(a)=ymin=7﹣4a.
綜上所述,
(3)
解: ,
假設(shè)存在,由題意,知
解得 ,
∴存在m=0,n=2,使得函數(shù) 的定義域?yàn)閇0,2],值域?yàn)閇0,4]
【解析】(1)若 的定義域?yàn)镽,則真數(shù)大于0恒成立,結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),分類(lèi)討論滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍,綜合討論結(jié)果,可得答案;(2)令 ,則函數(shù)y=[f(x)]2﹣2af(x)+3可化為:y=t2﹣2at+3, ,結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),分類(lèi)討論各種情況下h(a)的表達(dá)式,綜合討論結(jié)果,可得答案;(3)假設(shè)存在,由題意,知 解得答案.
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,對(duì)稱軸方程為頂點(diǎn)坐標(biāo)是;當(dāng)時(shí),拋物線開(kāi)口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時(shí),拋物線開(kāi)口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,與函數(shù) 的定義域相同的函數(shù)是( )
A.y(x)=x?ex
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P(2,0)及圓C:x2+y2﹣6x+4y+4=0.
(1)設(shè)過(guò)P直線l1與圓C交于M、N兩點(diǎn),當(dāng)|MN|=4時(shí),求以MN為直徑的圓Q的方程;
(2)設(shè)直線ax﹣y+1=0與圓C交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)a,使得過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線l2垂直平分弦AB?若存在,求出實(shí)數(shù)a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校有高級(jí)教師20人,中級(jí)教師30人,其他教師若干人,為了了解該校教師的工資收入情況,擬按分層抽樣的方法從該校所有的教師中抽取20人進(jìn)行調(diào)查.已知從其他教師中共抽取了10人,則該校共有教師人.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線也相切.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)設(shè)函數(shù),若且,證明: .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=log2(x+1).
(1)將函數(shù)f(x)的圖象上的所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)1個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖象,寫(xiě)出函數(shù)g(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的函數(shù)y=g2(x)﹣mg(x2)+3在[1,4]上的最小值為2,求m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若對(duì)于任意(x1 , y1)∈M,存在(x2 , y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,則稱集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”.給出下列四個(gè)集合:
①M(fèi)={ };
②M={(x,y)|y=sinx+1};
③M={(x,y)|y=log2x};
④M={(x,y)|y=ex﹣2}.
其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是( )
A.①②
B.②③
C.①④
D.②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,且,.四邊形滿足,,.為側(cè)棱的中點(diǎn),為側(cè)棱上的任意一點(diǎn).
(1)若為的中點(diǎn),求證: 面平面;
(2)是否存在點(diǎn),使得直線與平面垂直? 若存在,寫(xiě)出證明過(guò)程并求出線段的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,若對(duì)于任意的x1 , x2∈D,當(dāng)x1+x2=2a時(shí),恒有f(x1)+f(x2)=2b,則稱點(diǎn)(a,b)為函數(shù)y=f(x)圖象的對(duì)稱中心.研究函數(shù)f(x)=x3+sinx+2的某一個(gè)對(duì)稱中心,并利用對(duì)稱中心的上述定義,可得到 … = .
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