Question

【題目】已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩焦點之間的距離為2，兩條準線間的距離為8，直線l：y＝k(x－m)(m∈R)與橢圓交于P，Q兩點．

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 設橢圓的左頂點為A，記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2.①若m＝0，求k1k2的值；②若k1k2＝－，求實數m的值．

Answer 1

【答案】(1)＋＝1；(2)①－，②m＝1

【解析】

（1）題意說明，由這兩個條件可求得橢圓方程；

（2）①設P(x0，y0)，由于m＝0，則Q(－x0，－y0)，點在橢圓上得出，然后直接計算即得；

②由(1)得A(－2，0)．設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直接方程與橢圓方程聯立消元由韋達定理得，代入k1k2＝·＝·，整理后可求得．

(1)因為橢圓C的兩個焦點間距離為2，兩準線間的距離為2×＝8，所以a＝2，c＝1，所以b2＝3，

所以橢圓的方程為＋＝1.

(2)①設P(x0，y0)，由于m＝0，則Q(－x0，－y0)，

由＋＝1，得，

所以.

②由(1)得A(－2，0)．

設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

聯立消去y，得(3＋4k2)x2－8mk2x＋4m2k2－12＝0，

所以x1＋x2＝，x1·x2＝.

而k1k2＝·＝·

＝＝－，

化簡得＝－，即m2k2＋mk2－2k2＝0.

因為k2≠0，所以m2＋m－2＝0，解得m＝1或m＝－2(舍去)．

當m＝1時，Δ＞0，所以，m＝1.